ENVIRONNEMENT DE RECETTE

Nombres complexes - Expert

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Exercice 1 : Trouver l'affixe d'un point par une transformation complexe (avec conjugué)

Soit le point \(A\) ayant pour affixe \(z_A = -4 -2i\).
Soit \(f\) la transformation du plan qui à tout point \(M\) d’affixe \(z \ne 1\) , associe le point \(M^\prime\) d'affixe \(z^\prime = \frac{1 - z}{\overline{z}-1}\).
Soit \(A'\) l'image de \(A\) par \(f\).

Donner l'affixe de \(A^\prime\) sous sa forme algébrique.
On donnera directement la valeur de l'affixe sans écrire \( z_A = \).

Exercice 2 : Racine nième de l'unité

Trouver le ou les nombres solutions de l'équation \( z^{2}=1 \)

  • 1.\(1\)
  • 2.\(i\operatorname{sin}{\left (\dfrac{2}{7}\pi \right )} + \operatorname{cos}{\left (\dfrac{2}{7}\pi \right )}\)
  • 3.\(- \operatorname{cos}{\left (\dfrac{3}{7}\pi \right )} - i\operatorname{sin}{\left (\dfrac{3}{7}\pi \right )}\)
  • 4.\(- i\operatorname{sin}{\left (\dfrac{2}{7}\pi \right )} + \operatorname{cos}{\left (\dfrac{2}{7}\pi \right )}\)
  • 5.\(-1\)
  • 6.\(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}i\sqrt{2}\)
  • 7.\(- \operatorname{cos}{\left (\dfrac{1}{7}\pi \right )} - i\operatorname{sin}{\left (\dfrac{1}{7}\pi \right )}\)
  • 8.\(- \operatorname{cos}{\left (\dfrac{3}{7}\pi \right )} + i\operatorname{sin}{\left (\dfrac{3}{7}\pi \right )}\)
  • 9.\(- \dfrac{1}{2}\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}i\sqrt{2}\)
  • 10.\(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}i\sqrt{2}\)

Exercice 3 : Sachant les affixes de 3 points, donner la nature du triangle (isocèle, rectangle, isocèle rectangle ou quelconque)

Soit trois points \(A\), \(B\) et \(C\) ayant pour affixe, respectivement, \(z_A = -1 - i\sqrt{3}\), \(z_B = - \dfrac{29}{2} + \dfrac{25}{2}i\sqrt{3}\) et \(z_C = -10 - i\sqrt{3}\).
Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?
(On caractérisera au mieux ce triangle, ex: s'il est isocèle et rectangle, isocèle simplement ne sera pas une réponse correcte)

Exercice 4 : Trouver l'affixe d'un point par une transformation complexe

Soit le point \(A\) ayant pour affixe \(z_A = 7 + 4i\).
Soit \(f\) la transformation du plan qui à tout point \(M\) d’affixe \(z \ne 4\) , associe le point \(M^\prime\) d'affixe \(z^\prime = \dfrac{1}{-4 + z} \).
Soit \(A'\) l'image de \(A\) par \(f\).

Donner l'affixe de \(A^\prime\) sous sa forme algébrique.

Exercice 5 : Angle vecteurs

Soit les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ayant pour affixe respectivement \(z_\overrightarrow{BA}= - \dfrac{3}{2}\sqrt{3} - \dfrac{3}{2}i\) et \(z_\overrightarrow{BC} = 4\).

Donner la mesure principale de l'angle \((\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})\)
Revenir au choix du niveau
False